Quelles sont les chances d'obtenir une quinte flush royale ? Probabilités, tableaux et exemples de mains au poker
Si vous savez compter, vous pouvez apprendre à penser comme un joueur de poker. À court terme, le poker semble reposer sur la chance, mais chaque décision est en réalité influencée par la combinatoire, les probabilités et l'espérance mathématique. Ce guide vous apprendra à calculer les probabilités de chaque main classique à 5 cartes (paire, double paire, brelan, quinte, couleur, full, carré, quinte flush, quinte flush royale), à convertir ces probabilités en probabilités et en cotes de type « 1 chance sur X », et à utiliser de courts extraits Python pour vérifier vos résultats et effectuer des simulations rapides. L'objectif n'est pas de vous promettre des gains, mais de vous aider à appréhender l'incertitude à la table de poker avec clarté.
Note pédagogique : Ce contenu vise à faciliter l’apprentissage des statistiques et de la prise de décision. Il ne garantit aucun profit et n’encourage en aucun cas les jeux de hasard.
Ce que vous apprendrez
- Comment le jeu de 52 cartes correspond aux nombres de combinaisons.
- Probabilités exactes à 5 cartes et cotes « 1 sur X » pour chaque rang de main.
- Dérivations étape par étape (par exemple, une paire, couleur, full) avec KaTeX.
- Comment comparer les cotes du pot et les cotes de tirage avec l'espérance de gain ?
- Petits extraits de code Python pour vérifier des comptages et exécuter de minuscules simulations.
1) Le jeu, les combinaisons et le langage des probabilités
Un jeu de cartes standard comporte 52 cartes : 13 valeurs (As, 2, …, Roi) × 4 couleurs (♠♥♦♣). Au poker à 5 cartes, les mains sont considérées comme des combinaisons sans ordre particulier. Le dénominateur de toutes les probabilités exactes est :
\text{Total 5-card hands}=\binom{52}{5}=\frac{52!}{5!,47!}=2{,}598{,}960Toutes les probabilités exactes de 5 cartes ci-dessous divisent le nombre de mains approprié par \binom{52}{5}.
2) Probabilités exactes des mains de poker à 5 cartes (comptes, probabilités, « 1 sur X »)
Vous trouverez ci-dessous le tableau standard des décomptes et probabilités de mains mutuellement exclusives. « Cotes (1 sur…) » correspond simplement à \dfrac{1}{p}, arrondi.
| Type de main | Comptage combinatoire | Probabilité | Probabilité (1 sur …) |
|---|---|---|---|
| Quinte royale | 4 | 0.000154% | 649,740 |
| Quinte Flush (ex-Royale) | 36 | 0.001385% | 72,193 |
| Four of a Kind | 624 | 0.0240% | 4,165 |
| Full House | 3,744 | 0.1441% | 694 |
| Quinte flush (ex-quinte flush) | 5,108 | 0.1965% | 509 |
| Quinte (ex-quinte flush) | 10,200 | 0.3925% | 255 |
| Three of a Kind | 54,912 | 2.1128% | 47 |
| Deux paires | 123,552 | 4.7539% | 21 |
| Une paire | 1,098,240 | 42.2569% | 2.37 |
| Carte haute (sans suite ni couleur) | 1,302,540 | 50.1177% | 2.0 |
À emporter rapide
• Une quinte royale représente 4 mains de 5 cartes possibles sur 2 598 960, soit environ 1 sur 649 740.
• Plus de 92 % des mains de 5 cartes sont « une paire » ou pire ; environ la moitié ne contiennent que la carte haute.
Dérivations travaillées (sélectionnées)
Quinte royale
Il vous faut AKQJ-10 dans la même couleur. Il y a 4 couleurs, donc :
N_{\text{royal}}=4 \quad\Rightarrow\quad P(\text{royal})=\frac{4}{\binom{52}{5}}\approx 1.539\times 10^{-6} ,(0.000154%)Quinte Flush (hors royale)
Il y a 10 séries de rangs par couleur (A-5 à 10-A), moins la royale elle-même ; sur 4 couleurs :
N_{\text{sf (ex-royal)}}=10\cdot 4 - 4 = 36
Une paire
Choisissez le rang de la paire ; choisissez ses 2 couleurs ; choisissez 3 rangs secondaires distincts ; choisissez 1 couleur pour chaque rang secondaire :
N_{\text{one pair}}=\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}4^{3}=1{,}098{,}240 P(une paire) = (1 098 240 / 52/5) ≈ 0.422569 ; (42.2569 %)Full House
Choisissez un rang pour les voyages et un rang différent pour la paire ; choisissez les couleurs en conséquence :
N_{\text{full}}=\binom{13}{1}\binom{4}{3}\binom{12}{1}\binom{4}{2}=3{,}744Quinte flush (à l'exclusion de la quinte flush directe)
Choisissez une couleur (4 possibilités), puis choisissez 5 de ses 13 cartes (sans ordre particulier), soustrayez les quintes flush de cette couleur :
N_{\text{flush ex-sf}}=4\binom{13}{5}-40=5{,}108(Il y a 10 suites × 4 couleurs = 40 quintes flush au total ; 4 d'entre elles sont des royales.)
3) Du décompte à la décision : cotes du pot et espérance de gain
Si une action produit des résultats x_i avec des probabilités p_i, la valeur attendue est
\mathrm{EV}=\sum_i p_i x_i
Un appel est rentable lorsque l'espérance de gain (EV) est supérieure à 0.Un test rapide de seuil de rentabilité compare votre probabilité de gain aux cotes de pot:
- Cotes du pot (ratio) = \dfrac{\text{montant à appeler}}{\text{pot après appel}}
- Probabilité de gain à seuil de rentabilité p^*:
p^*=\frac{\text{montant à appeler}}{\text{montant à appeler}+\text{pot}}
Exemple. Pot = 90 $; le méchant mise 10 $; vous suivez 10 $ → pot après avoir suivi = 110 $.
p^*=\frac{10}{110}\approx 9.09%
Si vos chances d'améliorer (et de gagner encore) dépassent 9.09 %, appeler a une valeur d'espérance de gain positive (en ignorant les rues futures).
4) Règles d'exclusion et d'approximation (règle de 4 et 2)
An « out » est une carte cachée qui augmente vos chances de victoire.
- Une carte à venir (rivière) : P(\text{hit})\approx \frac{k}{46}\approx 2k%
- Deux cartes à venir (tour + rivière) : P(\text{hit})\approx 4k%
Sorties typiques :
- Tirage quinte ouvert : k = 8 → ~32 % par voie fluviale
- Tirage couleur après le flop : k = 9 → ~36 % par voie fluviale
- Deux cartes supérieures (une paire à la rivière, à l'envers) : k ≈ 6 → ~24%
Quinte flush exacte à la rivière après une quinte flush au flop (deux à venir).
Manquer les deux rues : \frac{39}{47}\cdot\frac{38}{46}\approx 0.676
Donc frappé par la rivière : 1-0.676=0.324 ; (32.4%) — parfaitement aligné avec la règle des 4 (9 outs → ~36%).
5) Python : Vérifier les décomptes, afficher le tableau des probabilités et simuler
5.1 Dénombrement et impression des probabilités standard
import math
def nCk(n, k): return math.comb(n, k)
total = nCk(52, 5)
counts = {
"royal_flush": 4,
"straight_flush_ex_royal": 36,
"four_of_a_kind": 624,
"full_house": 3744,
"flush_ex_straight_flush": 5108,
"straight_ex_straight_flush": 10200,
"three_of_a_kind": 54912,
"two_pair": 123552,
"one_pair": 1098240,
"high_card": 1302540,
}
for hand, c in counts.items():
p = c / total
print(hand, c, f"{100*p:.6f}% (1 in {round(1/p):,})")
5.2 Pot-Odds et EV Helpers (règle du 4/2 intégrée)
def break_even_prob_to_call(to_call, pot_before_call):
pot_after_call = pot_before_call + to_call
return to_call / pot_after_call
def approx_hit_prob(outs, cards_to_come=2):
if cards_to_come == 2: return min(1.0, outs * 4 / 100)
if cards_to_come == 1: return min(1.0, outs * 2 / 100)
raise ValueError("cards_to_come must be 1 or 2")
def call_chip_ev(to_call, pot_before_call, win_prob):
pot_after_call = pot_before_call + to_call
return win_prob * pot_after_call - (1 - win_prob) * to_call
# Example: flush draw after flop (9 outs), pot $90, need to call $10
to_call, pot = 10, 90
p_be = break_even_prob_to_call(to_call, pot)
p_est = approx_hit_prob(outs=9, cards_to_come=2)
ev = call_chip_ev(to_call, pot, p_est)
print("Break-even:", round(100*p_be, 2), "% | Est. win prob:", round(100*p_est, 2), "% | EV:", round(ev, 2))
5.3 Petit Monte Carlo (Attention, version très simplifiée)
Cette simulation approximative évalue vos cartes privatives par rapport à une main aléatoire, en distribuant 5 cartes communes et en comparant les 5 meilleures.
import random from collections import Counter from itertools import combinations ranks = "23456789TJQKA"; suits = "CDHS" deck = [r+s for r in ranks for s in suits] def hand_rank_5(cards5): rs = [c[0] for c in cards5]; ss = [c[1] for c in cards5] is_flush = len(set(ss)) == 1 vals = sorted([ranks.index(r) for r in rs]) is_straight = all(vals[i]+1 == vals[i+1] for i in range(4)) or vals == [0,1,2,3,12] cnt = Counter(rs).most_common() pattern = sorted([c for _, c in cnt], reverse=True) if is_straight and is_flush: cat = 8 elif pattern == [4,1]: cat = 7 elif pattern == [3,2]: cat = 6 elif is_flush: cat = 5 elif is_straight: cat = 4 elif pattern == [3,1,1]: cat = 3 elif pattern == [2,2,1]: cat = 2 elif pattern == [2,1,1,1]: cat = 1 else: cat = 0 order = [] for r,c in sorted(cnt, key=lambda x:(x[1], ranks.index(x[0])), reverse=True): order += [r]*c key = tuple(sorted([ranks.index(r) for r in order], reverse=True)) return (cat, key) def best_5_from_7(cards7): best = None for comb in combinations(cards7, 5): rank = hand_rank_5(comb) if best is None or rank > best: best = rank return best def simulate_heads_up(hole_hero, iters=5000): wins = ties = 0 for _ in range(iters): d = deck.copy() for c in hole_hero: d.remove(c) random.shuffle(d) villain = d[:2]; board = d[2:7] hero_best = best_5_from_7(hole_hero + board) vill_best = best_5_from_7(villain + board) if hero_best > vill_best: wins += 1 elif hero_best == vill_best: ties += 1 return (wins + 0.5*ties) / iters # Example: AK suited print("AKs win rate (est.):", round(100*simulate_heads_up(["A S".replace(" ",""), "K S".replace(" ","")], iters=8000), 2), "%")
6) Du dénombrement à la stratégie : étudier les marges
Le tableau indique les cotes exactes à 5 cartes. Au Hold'em, les décisions sont conditionnelles : le flop, le turn et la rivière révèlent des informations qui modifient vos possibilités. Utilisez la Rule of 4 and 2 pour des approximations rapides et vérifiez votre pronostic avec l'espérance de gain. En cas de doute, simulez.
7) Conseils d'étude / Liste de vérification pratique
- Mémorisez le tableau des 5 cartes ; sachez quelles mains sont vraiment rares.
- Exercices de forage et la règle du 4/2 jusqu'à l'instant.
- Comparez toujours la probabilité de gain au seuil de rentabilité. p^*.
- Enregistrez les mains que vous avez trouvées proches — recalculez-les plus tard avec des calculs exacts.
- Utilisez de petites expériences de Monte Carlo pour affiner votre intuition.
Conclusion
La combinatoire vous indique la rareté de chaque main de 5 cartes. Les probabilités conditionnelles et les approximations (outs, règle du 4/2) permettent de prendre des décisions rapides. L'espérance de gain et les cotes du pot transforment les convictions en actions, et des simulations à petite échelle valident votre raisonnement. Vous ne supprimerez pas l'incertitude, mais vous remplacerez les conjectures par une structure et une discipline.
